Altın Oran

Öyle bir sayı bulalım ki, karesi aynı sayının bir fazlası olsun:

 φ² = φ + 1

Genellikle φ (fi) harfi ile gösterilen bu sayının tersi de bir eksiğine eşit:

1/φ = φ − 1

Altın oran olarak bilinen φ sayısının tam ve yaklaşık değerleri:

φ = (1+√5)/2 ≈ 1,6180

Böylece yaklaşık olarak  1/φ ≈ 0,618,  φ ≈ 1,618,  φ² ≈ 2,618  bulunur.

İkinci derece x²=x+1 denkleminin iki çözümünün  φ  ve  1−φ  olduğunu kaydedelim.

Sayısal tanımı böyle, ama bu oranın orijinal tanımı elbette yine geometrik:
"Altın oranlı dikdörtgenden bir kare kesince, küçük dörtgen ilk dörtgene benzer olsun."

Göze hoş görünen bu dikdörtgenin kenar oranına "altın oran" deniyor. İnsan yapısı bir çok sanat ve mimarlık eserinde ortaya çıktığı gibi, muhtelif canlılarda da sıkça rastlanıyor.

Düzgün beşgen ve içine çizilen yıldızda da bu oranı gözlüyoruz:

Fibonacci Sayıları
İlk değerleri F₀=0 ve F₁=1 olan bir dizi düşünelim.
Sonraki değerler, hep bir önceki ve iki önceki sayıların toplamı olsun:

F_n+1 = F_n + F_n−1    n=1,2,3,...

Bu şekilde elde edilen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... dizisine Fibonacci Sayıları deniyor. Bu sayılarla altın oranın kuvvetleri arasında ilginç iki bağıntı gizli:

F_n = (φⁿ−(1−φ)ⁿ)/√5  ve
φⁿ = F_nφ + F_n−1    n=1,2,3,...

Birinci bağıntıyı göstermek için, x²=x+1 denkleminin iki çözümünün  φ  ve  1−φ  olduğunu yukarıda kaydetmiştik. F_n için şöyle bir varsayım yapılırsa

F_n = Aφⁿ + B(1−φ)ⁿ

F₀=0 ve F₁=1 eşitliklerinden  A = −B = 1/√5 bulunur.

İrrasyonel φ sayısından tamsayılar üreten bu formül gerçekten şaşırtıcı.

|1−φ|<1 olduğundan, büyük n değerleri için ikinci terim ihmal edilebilir. Yaklaşık olarak

F_n ≈ φⁿ/√5  ve
F_n+1/F_n ≈ φ

İkinci bağıntı için, φ = 1φ + 0 eşitliğinden başlayarak iki tarafı φ ile çarpalım ve sağ tarafı φ² = φ + 1 tanımını kullanarak sadeleştirelim. Bu işlemi bir kaç kere tekrarlayınca iki adet Fibonacci dizisi ile karşılaşıyoruz:

φ¹ = 1φ + 0

φ² = 1φ + 1

φ³ = 2φ + 1

φ⁴ = 3φ + 2

φ⁵ = 5φ + 3

φ⁶ = 8φ + 5

Birim kareden başlayarak, etrafına sıra ile 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... boyunda kareler dizilirse, Fibonacci sarmalı (spiral) elde edilir:

Düzgün Yirmiyüzlü
Üç adet altın oranlı dikdörtgeni birbirine dik olarak yerleştirince, düzgün bir yirmiyüzlünün (icosahedron) 12 köşesi ortaya çıkar:

Ödev

1. Kenarı 1 olan düzgün beşgenin iki köşegenini çizip benzer üçgenler yardımı ile köşegen uzunluğunun φ olduğunu gösterin.

2. Şu noktaların, kenarı 2 olan eşkenar bir üçgen tanımladığını gösterin:
    (0, 1, φ) (1, φ, 0) (φ, 0, 1)

3. φⁿ = F_nφ + F_n−1 bağıntısını tümevarımla gösterin.


Referans

https://www.goldennumber.net/what-is-phi/

https://www.mathsisfun.com/numbers/nature-golden-ratio-fibonacci.html

https://www.wikiwand.com/en/Fibonacci_number